Absolwent Wydziału Wokalno-Aktorskiego Akademii Muzycznej w Gdańsku w klasie dra Stanisława Daniela Kotlińskiego (dyplom z wyróżnieniem) oraz Wydziału Rzeźby warszawskiej ASP. Uczestniczył w kursach mistrzowskich Ryszarda Karczykowskiego, Rolando Paneraia, Salvatore Fisichellego, Sylvii Geszty, Heleny Łazarskiej i Claudia Desderiego. Otrzymał II nagrodę na Międzynarodowym Konkursie Wokalnym Hariclea Darclèe (Rumunia, 2005). Nominowany do Paszportu Polityki 2013 w kategorii: muzyka poważna oraz, wraz z pianistką Jolantą Pawlik, do nagrody Fryderyk 2013 w kategorii: muzyka kameralna (za rejestrację cyklu pieśni F. Schuberta Die schöne Müllerin dla wytwórni DUX w roku 2012).
W latach 2007-2009 był solistą Opery Wrocławskiej, w której zadebiutował jako Alfred w Zemście Nietoperza J. Straussa i gdzie wykonywał również partie: Tamina w Czarodziejskim flecie W. A. Mozarta, Almavivy w Cyruliku sewilskim G. Rossiniego, Cassia w Otellu G. Verdiego i Archanioła w Raju utraconym K. Pendereckiego. Występował na scenach m. in.: wersalskiego Théâtre Montansier (Oebalus w Apollu i Hiacyncie W. A. Mozarta), Łotewskiej Opery Narodowej w Rydze (Almaviva w Cyruliku sewilskim G. Rossiniego), Staatstheater am Gärtnerplatz w Monachium (Lindoro we Włoszce w Algierze G. Rossiniego) i Opery Kijowskiej (Edrisi w Królu Rogerze K. Szymanowskiego). Od 2009 roku jest związany z Teatrem Wielkim – Operą Narodową, gdzie śpiewał jako Vitellozzo w Lukrecji Borgii G. Donizettiego, Misaił w Borysie Godunowie M. Musorgskiego, Damazy w Strasznym dworze S. Moniuszki, Młody sługa w Elektrze R. Straussa, Kudriasz w Katii Kabanowej L. Janáčka, Edrisi w Królu Rogerze K. Szymanowskiego, Goro w Madame Butterfly G. Pucciniego i Nauczyciel tańca i Latarnik w Manon Lescaut G. Pucciniego oraz jako Ksiądz Mignon w Diabłach z Loudun K. Pendereckiego.
Od 2010 roku występuje jako solista z zespołem muzyki dawnej Capella Cracoviensis, z którą wykonywał m.in. muzykę Monteverdiego (projekt: m.m.m.bar.okowa uczta), Stabat Mater J. Haydna, Requiem i Mszę c-moll W. A. Mozarta a także dzieła J. S. Bacha: Magnificat oraz Pasję wg św. Jana i Pasję wg św. Mateusza (w których wykonywał partię Ewangelisty). Występował pod batutą m. in. Fabia Bonizzoniego, Andreasa Speringa, Andrew Parrotta, Konrada Junghänela, Kaia Wessela, Christophe’a Rousseta i Jana Tomasza Adamusa. Śpiewał również w koncertowych wystawieniach dzieł G. F. Haendla: jako Bajazet w Tamerlanie i Lurcanio w operze Ariodante. Współpracuje z większością polskich zespołów, wykonujących muzykę barokową na instrumentach historycznych m.in. z Wrocławską Orkiestrą Barokową a także z {oh!} Orkiestrą Historyczną, Musicae Antiquae Collegium Varsoviense, Il Giardino d’Amore i Arte dei Suonatori.
Wyjątkowa barwa i wszechstronność tenorowego głosu artysty inspiruje także współczesnych kompozytorów. Od 2012 roku Kozłowski regularnie gości na festiwalu Kissinger Sommer w Bad Kissingen, gdzie obok pereł romantycznej i XX-wiecznej liryki wokalnej, z towarzyszeniem znakomitych pianistów takich jak Melvyn Tan, Axel Bauni i Jan Philip Schulze, bierze udział w prawykonaniach utworów pisanych specjalnie dla niego przez m. in. Olivera Schnellera, Manfreda Trojahna i Bernda Redmanna. W 2014 kompozycja Andrzeja Kwiecińskiego Canzon de’ baci na tenor i orkiestrę, której pierwsze wykonanie odbyło się rok wcześniej w Katowicach podczas VI Festiwalu Prawykonań (Karolowi Kozłowskiemu towarzyszyła wówczas Orkiestra Kameralna Miasta Tychy AUKSO pod batutą Marka Mosia) zwyciężyła w Kategorii Młodych Kompozytorów na 61. Międzynarodowej Trybunie Kompozytorów w Helsinkach. Glos artysty stał się również inspiracją dla wybitnego kompozytora muzyki współczesnej Pawła Mykietyna, który w swoim najnowszym dziele – operze Czarodziejska góra – powierzył mu rolę Settembriniego. Prapremiera w reżyserii Andrzeja Chyry miała miejsce na poznańskim Międzynarodowym Festiwalu Malta 2015.